Wednesday, October 25, 2006

MATEMÁTICA

PREGUNTAS SOBRE MATEMÁTICA ABP BOTIQUÍN

1. ¿Qué es una ecuación de segundo grado? Ejemplos.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c = 0, se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos.)

Casos especiales

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso, ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.

Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x + 5 = 0 ó x = 0, despejando x concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = – cx2 = – c/a


Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 →

2. ¿Qué se tiene en cuenta para la resolución algebraica?

La Resolución algebraica es:

Es donde nosotros introducimos coordenadas fijando un sistema de referencia universal, que podemos suponer, sin perder generalidad, con origen en el punto base O. Denotaremos por (a,b) a las coordenadas de Q, mediremos el ángulo q1, correspondiente al primer motor, en sentido CCW desde el eje X positivo hasta el primer segmento, y el ángulo q2, correspondiente al segundo motor, desde la prolongación del primer segmento hasta el segundo, también en sentido CCW.


Ejemplos los cuales se dan:


Las ecuaciones que ligan el punto extremo Q=(a,b) y los ángulos q1 y q2, es decir, las ecuaciones cinemáticas del manipulador 2R, son:

a=L1cos q1+L2cos(q1+q2)
b=L1sin q1+L2sin(q1+q2)

Tambien se dan para despejar asi:


Manipulando estas ecuaciones conseguimos "despejar" los ángulos en función del punto (a,b), obteniendo las siguientes expresiones, que representan la solución algebraica al Problema Cinemático Inverso:

cos q2 = (a2+b2-L12-L22)/(2L1L2)
q1 = arctan(b,a)-arctan( L2sin q2, L1+L2cos q2)

donde arctan(m,n) denota el ángulo alpha tal que

sin alpha=m/sqrt(m2+n2),
cos alpha=n/sqrt(m2+n2).

3. ¿Cómo Resolver una ecuación general de segundo grado con una incógnita?

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.

4. ¿Qué deberíamos hacer para dar solución a ecuaciones cuadráticas con una incógnita

en el denominador?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Soluciones de una ecuación cuadrática:

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

5. Resolución de ecuaciones cuadráticas literales.

Las expresiones algebraicas que representan la suma algebraica de dos o mas monomios no semejantes se llaman polinomios. Para sumar dos polinomios, se escriben uno a continuación del otro, cada termino con su signo correspondiente. Depuse se suman los monomios o términos semejantes, si los hay.
(-3x²+2x)+(-8x-6+12x²)=9x²-6x-6

- Una resta de polinomios se transforma en un suma de polinomios. El polinomio minuendo permanece igual, el polinomio sustraendo se transforma, cambiando todos los signos de los términos.
(-3x-12)-(2x-6-x²)=-5x-6-x²

- El producto de dos monomios se obtiene multiplicando los coeficientes numéricos y las partes literales utilizando las leyes de los exponentes.
(2x²-3x+2) (4x)

* Ecuación lineal:


- Ecuación polinómica de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1.ax+by+cz…=k, en donde a,b,c…k son números reales x,y,z… son las incógnitas.Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma: ax+by=cCon a o b no nulos. Se representa mediante rectas cuyos puntos son los resultados de la ecuación.


* Las ecuaciones con tres incógnitas son de la forma:
ax+by+cz=d

- Con a, o b, o c, no nulos. Se representa mediante planos cuyos puntos son los resultados de la ecuación.

Ejemplos de Los términos semejantes son :

a, 2ª,-3/4 a…Y ejemplos de términos no semejantes son a², a, 5a³…
- Dos o mas términos son semejantes si su parte literal coincide y tiene iguales componentes; solo pueden variar en su coeficiente.

6. ¿Qué es y cómo resolver:?

a. Un sistema de ecuaciones con dos y tres incógnitas:


Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones.

Por ejemplo las ecuaciones:3x2 - 2x + 3y = y - 12y - 3y2 = 3x + 4

Formarían un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitasx + y + z = 4El conjunto de ecuaciones: ......................................... 3x - 2y - z = 4....x + 3y - 5z = -1

Formarían un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

El ejemplo anterior es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado.

El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas.

b. Ecuaciones simultáneas.

Solución mediante la función que se denomina división inversa.

En efecto, dado el sistema de ecuaciones lineales simultáneas:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + ... + a3nxn = b3...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn


c. Sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas, métodos.

Quizás ya hayas trabajado en clase resolviendo sistemas de ecuaciones y que existen varios métodos para ello.

Por ejemplo el primer sistema que resolvimos en el ejercicio 1:

Se resuelve fácilmente por cualquiera de ellos:

Por sustitución:- 1.

Se despeja una incógnita en una ecuación, por ejemplo la y en la primera: y = -2x- 2.

Se sustituye dicho valor en la segunda: x - 2x = -1- 3.

Se resuelve esta ecuación: -x = -1; x = 1- 4.

Con este valor se halla el de la otra incógnita (paso 1): y = -2

Solución que naturalmente coincide con la obtenida antes gráficamente.Por reducción:

- 1.

Se consigue que en al sumar o restar ambas ecuaciones, miembro a miembro se elimine una incógnita.

Para ello se simplifica todo lo posible y se multiplica, si es necesario alguna ecuación por algún número.

En este caso se pueden restar directamente una ecuación de la otra y se elimina la y:

1ª - 2ª : x = 1- 2.

Se resuelve la ecuación resultante. En este caso ya lo está ya que hemos obtenido directamente la solución para la x:x = 1- 3.

Se sustituye esta solución en una de las dos ecuaciones y se resuelve hallando la otra incógnita.

En este caso, sustituyendo x = 1 en cualquiera de las dos ecuaciones se obtiene fácilmente y = -2.

7. ¿Qué es una Matriz? Ejemplos

Es una tabla rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse de varias maneras, formando esto el concepto clave del álgebra lineal y la teoría de matrices.

Ejemplo de la Matriz:

La matriz

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&0&5\end{bmatrix}

es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.

La matriz

R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

8. ¿Cómo calcular la Determinante de una matriz?

Algoritmo:


Siendo N igual al número de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

Ejemplo de un determinante de segundo orden:
Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos:

Paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos 4, mientras en la suma i+j=2.

Paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado 6 y la suma i+j=3.es decir ...


Si la matriz fuese del tipo:

El determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:
después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...
y por tanto ...A = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87En SPSS lo explicitamos como:

compute A={1,-3,-2;4,-1,0;4,3,-5}. print (det(A)).

9. ¿Qué plantea el método de Gauss?

GAUSS ES UNO DE LOS MATEMÁTICOS MÁS IMPORTANTES DE LA HISTORIA .............

Nos da una de la facilidad de resolver ecuciones lineales con cualquier número de ecuaciones e incognitas.

Por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Ax + By + Cz = D

Ey + Fz = G

Hz = I


La resolución conciste en calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnita x en la primera ecuación, conocidos ya z e y.

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA:

Criterio 1.Producto o cociente por un numero real distinto de cero.

Criterio 2. Suma o diferencia de ecuaciones.

Criterio 3. Reducción de ecuaciones.

Método de Gauss-Seidel

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:

Método de Gauss-Seidel y Newton


Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

Método de Gauss-Seidel y Newton


y la ecuación (63) se puede escribir en la forma:

Qx(k) = -Rx(k-1) + b


10. Aplicaciones en problemas.

La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

- y + 9·2 = 13 Þ y = 5

y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

1 Comments:

Blogger HWAC_HAROLD AYALA said...

No se ha tenido en cuenta alguna de las sugerencias que se dieron en clase.
Corregir la pregunta 2 y 5.
Falta profundizar y colocar ejemplos.

4:28 AM

 

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